1.絶対値の基本定義と性質 絶対値の定義: ・a,b∈Cとするとき、本体系では|a+bξ̃|=|a|-|b|と定義します。これはaとbの複素絶対値の差を取り、ξ̃を含む項に対して方向性や反転的な性質を表現するものと解釈されます。 この絶対値の定義は、ξ̃の項が空間的に反転的な性質(例えば負の長さや方向性)を持つことを反映するために、|a|-|b| の形を取っています。 ・この定義により、a=0,b=1のとき、|ξ̃|=|0+1ξ̃|=0-1=-1が導かれます。 絶対値の性質: ・絶対値は原点からの距離を意味しており、次元空間における複素数やξ̃の距離の計算を表します。 ・|a+bξ̃|=|a|-|b|としてξ̃を含む項も考慮します。 2.基本演算の定義 四則演算・累乗・共役・逆元の定義 ・加法・減法: 同次元空間Eₙ内でのみ定義される。 aξ̃ⁿ+bξ̃ⁿ=(a+b)ξ̃ⁿ , aξ̃ⁿ-bξ̃ⁿ=(a-b)ξ̃ⁿ 異なる次元間の和(例:a+bξ̃+cξ̃²)は多項式の形で表され、絶対値は項ごとに定義される。 ・乗法(積): 次元は加算され、係数は複素数の積として計算される。 (aξ̃ⁿ)(bξ̃ᵐ)=abξ̃ⁿ⁺ᵐ ・除法・逆元: aξ̃ⁿの逆元は1/a ξ̃⁻ⁿと定義される。 (aξ̃ⁿ)⁻¹=1/a ξ̃⁻ⁿ (a≠0) 絶対値は|(aξ̃ⁿ)⁻¹|=(-1)ⁿ |a|となる 単項式aξ̃ⁿの全体は体を成す。一方、多項式全体は一般に逆元を持たないため環に留まる。 ・累乗(冪乗): 繰り返し乗法として定義される。 (aξ̃ⁿ)ᵐ=aᵐ ξ̃ⁿᵐ ・共役(共役変換): E1空間における共役は、実数部分の符号が反転する特性を持っており、これは偶数次元空間と奇数次元空間の反転的性質を表している。具体的にaξ̃=(x+yi)ξ̃の共役は、次のように計算される: aξ̃の共役=(-x+yi)ξ̃ 一般には複素共役とξ̃の対称性に基づいて定義され、ξ̃の共役は-ξ̃とみなされる。 よって一般のaξ̃ⁿの共役は次のように表される: conj(aξ̃ⁿ) = conj(a)(-1)ⁿξ̃ⁿ ここで、aの共役は複素共役、(-1)ⁿは次元nによる符号の反転を示す。 ・分配法則・結合法則が自然に成り立つように設計されている(ただし、絶対値や共役との関係では注意が必要)。 3.絶対値の乗法性の条件 乗法性が成り立つ条件: ・本体系においては、因子のどちらもが単一のξ̃ⁿ項(すなわちaξ̃ⁿの形)である場合にのみ、絶対値の乗法性|xy|=|x||y|が成立します。複数のξ̃ⁿ項を持つ多項式的な形ではこの性質は一般に成立しません。 乗法性の成り立つ例: ・x=aとy=b(片方は単項式、もう片方も単項式) ・x=aとy=bξ̃ⁿ(片方は単項式、もう片方はξ̃を含む単項式) ・x=aξ̃ⁿとy=bξ̃ᵐ(片方はξ̃を含む単項式、もう片方もξ̃を含む単項式) 乗法性が成り立たない例: ・x=a+bξ̃とy=c+dξ̃(両方がξ̃を含む多項式) ・x=aとy=b+cξ̃(片方は単項式、もう片方はξ̃を含む多項式) 4.次元空間Sₙの導入とその理解 次元空間Sₙ: 各ξ̃ⁿに対して、Sₙという次元空間が存在し、各次元空間での計算や演算が行われます。空間Sₙの要素は、複素数a∈Cとξ̃ⁿの積として表されます。Sₙ={aξ̃ⁿ|a∈C} これにより、異なる次元での計算が扱いやすくなります。 ・S₀:通常の複素数空間。 ・S1:ξ̃を基底と持つベクトル空間。 ・S2:ξ̃²を基底と持つベクトル空間。 空間Sₙ上の要素aξ̃ⁿの絶対値は、以下のように定義されます: |aξ̃ⁿ|=|a|*(-1)ⁿ ・|a|は複素数aの絶対値であり、通常の計算に従います。 絶対値の性質: ・偶数次元空間(S₀,S2,S4,…)において基底が空間的に「反転しない」ため、絶対値は常に正となる。例えば、|aξ̃²|=|a|となります。 ・奇数次元空間(S1,S3,S5,…)において基底が「反転的」な性質を持つため、絶対値は常に負となる。例えば、|aξ̃|=-|a|となります。 ・よって偶数次元空間と奇数次元空間は、絶対値を計算する際に同じ「スケール」を持つため、それぞれ性質的に同じと言えます。 偶数次元:絶対値は正の値、つまり通常の「長さ」を意味する。 奇数次元:絶対値が負となるため、反転や移送反転の概念が生じる。
・「絶対値は正の値しか取らない」というのが通常の定義として学んだが、もしも絶対値が負の値を取るような数が存在するなら、非常に面白いと感じた。これに基づいて、絶対値が負になるケースがあった場合、それは数学的にどんな意味を持つのか、またそのような性質がどのように他の数学的な構造に影響を与えるのかを考えると、これまでの絶対値の概念とは異なる新たな視点を提供することができるだろう。これを通して、新しい数体系や空間の特性を探ることができるのではないかと思った。 ・Base field=C ・ξ̃は次元方向を表す規定要素 ・各Sₙは、次元nに対応する空間であり、要素は形aξ̃ⁿで表される。(aは複素数で、ξ̃は次元的空間の基底要素) S0は通常の複素数空間(すなわちS0={a|a∈C})です。 S1,S2,などの空間は、次元nに対応し、要素はaξ̃ⁿの形になる。 ・一般に、x=Σ[n=0,N](aₙξ̃ⁿ)に対して、絶対値は以下で定義されます: |x|=Σ[n=0,N](-1)ⁿ|aₙ| これはξ̃ⁿの符号的特性に従った加重和と見なせます。 ・|ξ̃|=-1という性質と絶対値の乗法的な性質(条件付き)により|a+bξ̃|=|a|+|bξ̃|が成り立つ。これは各ξ̃ⁿ項の絶対値の総和として考えることができる。 ・もし|a|=3と|b|=5の場合、|a+bξ̃|=|a|-|b|=3-5=-2ですが、この場合も単に反転した「方向性」を表現しているだけです。つまり、絶対値の「方向」には負の値がつくことがありますが、スカラー量としての絶対値は常に実数であり負になることはありません。 ・S₀とS2の違い: S₀とS2は絶対値の符号など性質が似ているが、本質的に異なる。 S₀の基底は1、S2の基底はξ̃²で、そもそも次元が異なる。 S₀内の積はS₀に留まる(S₀×S₀=S₀)一方、S2内の積はS4に移る(S2×S2=S4)。 よって、S₀は他のSₙとは異なり、演算的に閉じた特別な空間である。 ・本体系における絶対値は「反転的方向性(±)」を含むため、負の値を取りうる。 ・その絶対値に再び絶対値を適用することで、純粋な大きさ(絶対的ノルム)を取り出すことができる。 ・この構造は、本体系における元の性質を「方向」と「スカラー」に明確に分離するものであり、演算や空間の分類に有用な概念となる。
