리만 제타 함수는 정의대로 계산하면 임계띠 안쪽에서 수렴하지 않습니다. 그래서 급수를 더했을 때 수렴값의 위치가 어떻게 변화하는지 살펴보기 힘들죠. 하지만 리만 제타 함수의 정의에서 짝수 번째 항의 부호를 -로 바꾼 디리클레 에타 함수는 임계띠 안쪽에서 수렴하기 때문에, 그 함수를 이용하면 어떻게 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들이 만들어지는지 알 수 있습니다.(제타 함수와 에타 함수는 곱으로 연결되어 있기 때문에 둘의 영점은 같습니다.) 그래서, 그려 보면, 에타 함수는 여러 개의 '콩나물'을 만들어내고, 최종 콩나물이 에타 함수의 수렴값이 됩니다. 그 수렴값 점이 움직이는 양상을 잘 지켜보면 계속 원점(십자가)을 통과한다는 것을 알 수 있습니다. 유튜브의 여러 영상들은 이렇게 에타의 움직임을 보여줌으로써 함수가 어떻게 원점을 통과하는지 보여주는데, 왜 계속 원점을 통과하는지(=리만 가설의 증명)는 모르겠습니다. 그래도 왜 리만 제타 함수가 불규칙적으로 보이는지(편각들이 ln(k)들의 속도로 회전하기 때문에 꼬여서 그렇습니다), 그리고 ζ(임계선)이 그리는 동그라미가 언제 커지는지(콩나물들이 일자로 펴질 때입니다)는 드디어 이해했습니다. 적어도 본질적으로 제타 함수가 어떻게 돌아가는지 이해했다고나 할까요. 에타 함수의 변화 양상을 보여주는 것 중에서 가장 긴 건 아마 이 영상일 겁니다.(맨 처음에, 에타 콩나물이 아주 길고 곧게 펴지는데, 울프람 알파로 계산해 본 결과 이때 제타 함수는 절댓값이 거의 40인 점을 통과합니다. 이건 불길한 징조입니다. 임계선에서의 제타 함수의 절댓값이 무한히 커질 수 있다면 리만 가설이 거짓이 되거든요.) https://www.youtube.com/watch?v=gfVv04J1UQc #기능들# 슬라이더로 정확도, 확대율, 속도를 조절 가능합니다. 임계선의 높이는 t 변수에서 확인 가능합니다. 스페이스 키로 속도를 다양하게 조절 가능합니다(음수, 0, 아주 큰 수 등 어떤 수든 됩니다). t 키로 t 변수(임계선의 높이) 조절 가능합니다-역시 어떤 수든 가능하죠. 네 개의 방향키로 원점 위치를 조절할 수 있습니다. r 키로 초기화해서 다시 시작할 수 있습니다.
wandookong입니다. ㅎㅎ 리만의 제타 함수는 모든 자연수로 이루어져 있어 가장 규칙적이면서도 가장 불규칙적인 양상을 보여주는군요. 가장 정갈한, 모든 자연수라 하더라도, 회전은 언제나 카오스를 만들어냅니다.
