리만-지겔 공식이란, 리만이 개발했지만 발표하지 않아서 묻혀지고 있다가 그의 사후 지겔이 리만의 노트에서 발견한 놀라운 공식입니다. 발견 후 지겔이 약간 다듬어서 발표함으로써 리만-지겔 공식이란 이름으로 불리게 되었죠. 이 공식은 임계선의 높이 0~T 사이에 있는, 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점의 개수를 정확히 계산해 줍니다. 리만이 발견한 식에 따르면, π^(-ti/2)Γ((0.5+ti)/2)ζ(0.5+ti)는 t가 실수일 때 언제나 실수가 되고, 또한 이 함수의 실수 영점은 리만 제타 함수의 자명하지 않은 영점들의 허수부와 같습니다. 그래서 이 함수는 영점을 지나갈 때마다 부호가 바뀌죠. 이 성질을 이용하여, 이 함수의 편각을 계산해 보면 영점이 생길 때마다 끊깁니다. 이런 성질을 이용해서, Arg(z)=im(ln(z))를 이용해 저 세 인수를 지수함수×감마 함수 부분과 리만 제타 함수 부분으로 나누고 그 두 함수를 각각 θ(t)와 S(t)라고 명명한 뒤 영점을 구별하는 것 뿐 아닌 영점 개수를 셀 수 있도록 θ(t)의 감마 함수를 스털링 근사로 바꿔서 계속 증가하게 만들면 임계선의 높이 0~T 안에 있는 영점 개수인 N(T)에 관한 공식(1+T/(2π)×ln(T/(2πe))+7/8+S(T)+O(1/T))를 얻을 수 있습니다. ㅎㅎ 이 프로젝트는 리만-지겔 공식을 이용하여 얻은 값을 반올림하여 완벽한 영점의 개수를 계산합니다. 초록 깃발을 클릭한 뒤, 원하는 임계선의 높이 T를 입력하고, 영점 개수의 정확도를 입력합니다. 정확도는 리만 제타 함수의 값을 계산할 때 필요하기 때문에 1000 정도로 잡으면 적당합니다. 10000 정도를 넣어도 거의 바로 나옵니다. 100의 정확도를 넣어도, 거의 대부분 완벽한 값이 나오기 때문에, 정확도를 올리는 것이 무슨 의미가 있는지 의아해하실 수 있지만, 실제 영점에 아주 가까운 값을 넣는다면 ±1 정도 오차가 생길 수 있습니다. 영점의 계단 N(T)가 급격하게 치솟으며 꺾이는 지점이니까요. 그런 구간에선 리만 제타 함수를 이용한 오차항 S(T)를 정확히 계산해 줘야 하고 따라서 정확도를 높일수록 제대로 된 값이 나옵니다. ^^
wandookong입니다. ^^ 리만-지겔 공식은 앤드루 오들리즈코의 논문에서 찾았습니다. http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/zeta.zero.spacing.pdf 7쪽 아래~8쪽 위쪽에 걸쳐 적혀 있습니다. 식 (2.3)과 (2.5)가 그 공식입니다.
