遂に...できました...!!! ターボモードで素早く描画できます。 リーマンゼータ関数 [ Riemann zeta function ] ζ (s) は、単純な一般化無限調和級数によって定義された関数ですが、解析接続によって定義域を複素数に拡張するとその複雑さが現れます。その中でもRe s=¹/₂のクリティカルライン上では特に難解な挙動を示します。 それが今回の作品です。解析接続にはオイラーマクローリンの和公式を使用しました。積分区間は0~200になっている...はずです。かなり正確です。 見ての通り、この関数は繰り返し原点を通ります。しかしその法則性は謎に満ちています。 そして驚くべき事実は、このクリティカルライン上でのゼータ関数の挙動が素数と関連付けられているということです。 ☆リーマン予想 [Riemann hypothesis]： (リーマン)ゼータ関数の非自明な零点はすべて、実部が¹/₂の直線状にあるだろう。 この予想と同値な関係にあるのが、素数定理の誤差評価です。 ☆素数定理 [Prime number theorem]： π(x) ~ x/log(x) ( ~ Li(x) ) ※π(x)は素数計数関数、Li(x)は対数積分 ∫1/logt dt [2->x] ☆素数定理の誤差評価： |π(x)-Li(x)| ≦ C√x logx ※Cは定数 数論と解析学をつなぐ奥深いゼータ関数の世界にあなたも飛び込んでみてはいかがでしょうか。 #zeta #function #complex 数学
